Eğriyi kalınlaştırmak

Normal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kırmızı grafik y=e^{-x} fonksiyonunun grafiğidir. Amacım kırmızı grafiğin her bir noktasındaki eğime dik (Normal) doğrultuda 1 birim uzaklıktaki noktalardan oluşturulmuş yeşil grafiğin fonksiyonunu bulmaktır.

x=a noktasındaki normalin fonksiyonunu bulmakla yola çıkalım.

Bunun için a noktasındaki türevi hesaplamalıyız. Böylece a noktasındaki teğetin eğimini bulmuş olacağız.

y=e^{-x} olduğuna göre y'=-e^{-x} olacaktır. x=a için kırmızı grafiğin a noktasındaki eğimi  m=-e^{-a} bulunur.

a noktasındaki normalin (dik doğrunun) fonksiyonu yazalım.

n normalin eğimi olsun. n*m=-1 olacağından n=\frac{-1}{m}=\frac{-1}{-e^{-a}}=e^a

Normal fonksiyonunu (h) doğru eğiminden yararlanarak yazacak olursak \frac{h-f(a)}{x-a}=n buluruz.

Buradan h=(x-a)*n+f(a) buluruz. Artık herhangi bir x değeri için normal üzerindeki y değerini hesaplayabiliriz.

Şimdi aşağıdaki grafiğe göz atalım.hiphip

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h=(x-a)*n+f(a) ifademizde x yerine a+dx yazarsak h'ın alacağı değer  e^{-a}+dy olacaktır.

 

h(a+dx)=(a+dx-a)*e^a+e^{-a} bu aradığımız yeşil noktanın y değeridir.

h(a+dx)=dx*e^a+e^{-a}=y(a)+dy  ve dx^2+dy^2=1 olduğundan

h(a+dx)=dx*e^a+e^{-a}=e^{-a}+\sqrt{1-dx^2}

 

dx*e^a=\sqrt{1-dx^2}

dx^2*e^{2a}=1-dx^2

dx^2*e^{2a} +dx^2=1=dx^2(1+e^{2a})

dx^2=\frac{1}{1+e^{2a}}

dx=\frac{1}{\sqrt{1+e^{2a}}}

h(a+dx)=dx*e^a+e^{-a}=\frac{1}{\sqrt{1+e^{2a}}}*e^a+e^{-a}

Artık a ya istediğimiz değeri vererek kırmızı eğrimize dik doğrultuda 1 birim uzaklıktaki yeşil noktanın yerini hesaplayabiliriz.

Tabiki yukarıda işlem hatası yapmadıysak. (Sonuç test edilmedi)

Yeşil noktanın x koordinatını vermediğim için eleştirenler oldu.

x=a+dx  olduğu için yazma gereksinimi duymamıştım.

 

 

 

 

Bu yazı 2- Arm ve Asm kategorisine gönderilmiş. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.