İkinci dereceden sistemler ve basamak cevabı

Fiziksel sistemler genellikle alçak frekansları geçiren filitre yapısındadır. İşin içinde titreşim varsa bu sistemler en azından ikinci derecedir.  (Yay ve kütle içeren sistemler gibi.)

İkinci dereceden sistemlerin transfer fonksiyonu T_{(s)}=\frac{w_n^2}{s^2+2{{\rho}w_n}s+w_n^2} olarak tanımlıdır.

Karakteristik denklemimizi çarpanlarına ayıralım.

 s^2+2{{\rho}w_n}s+w_n^2=0 dan  s_{1,2}={-\rho}w_n\pm\frac{1}{2}\sqrt{4\rho^2w_n^2-4w_n^2} ve

s_{1,2}={-\rho}w_n\pm w_n \sqrt{\rho^2-1} buluruz.

Burada  \rho sönüm katsayısıdır (nedenini ileride anlayacağız) ve 1'den büyük, 1'den küçük ve 1'e eşit olma durumuna göre s1 ve s2 kökleri farklı davranışlara neden olacak değerler alır.

Birinci dereceden sistemlerde sistem parametresi değiştiğinde sadece sistemin gecikmesi değişirken, ikinci derece sistemlerde sistem parametrelerinin değişimi gecikme yanında sistem cevabının formunu da değiştirir.

\rho nın bir ve birden büyük değerler alması durumunu yazının en sonunda bulabilirsiniz.  Sönümleme katsayısının birden küçük değerleri sistemi sönümlü titreşimli hale getirdiğinden bu durum 2 derece sistemleri ilginç ve önemli kılar.

Not: Latex formatında bağıntıları yazarken en küçük hatada yazım hatası geri dönüşü çok zor hale getirdiğinden her bir işlem basamağını yapmak zorunda kaldım. Bu yazının uzamasına neden olsa da işlemleri kağıt kalem ile takip etmek isteyen arkadaşlar için daha faydalı olduğunu düşünüyorum.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

\rho<1  için sistemimizi inceleyelim. Bu durumda kökler kompleks eşlenik olacaktır.

s_{1,2}={-\rho}w_n\pm jw_n \sqrt{1-\rho^2}

İkinci dereceden sistemlerin en ilginç basamak cevabı bu durumda elde edilir.

T(s)=\frac{wn^2}{(s{+\rho}w_n+ jw_n \sqrt{1-\rho^2})(s{+\rho}w_n- jw_n \sqrt{1-\rho^2})}

Karmaşa olmaması için

a={\rho}w_n ve b=w_n \sqrt{1-\rho^2} diyelim.

(*) a^2+b^2={\rho^2}w_n^2 + w_n^2(1-\rho^2)=w_n^2 

T(s)=\frac{w_n^2}{(s{+a+ jb})(s{+a- jb})}
Rezidüleri hesaplayıp fonksiyonu basitleştirelim.

C(s)=\frac{1}{s}\frac{w_n^2}{(s{+a+ jb})(s{+a- jb})}

C(s)=w_n^2[\frac{A}{s}+\frac{B}{s +a+ jb}+\frac{C}{s+a- jb}]

A=\frac{1}{a^2+b^2}    B=\frac{1}{a+jb}\frac{1}{2jb}    C=\frac{1}{-a+jb}\frac{1}{2jb}

C(s)=w_n^2[\frac{1}{a^2+b^2}\frac{1}{s}+\frac{1}{a+jb}\frac{1}{2jb}\frac{1}{s +a+ jb}+\frac{1}{-a+jb}\frac{1}{2jb}\frac{1}{s+a- jb}]

C(s)=w_n^2[\frac{1}{a^2+b^2}\frac{1}{s}+\frac{1}{2jb}(\frac{1}{a+jb}\frac{1}{s +a+ jb}+\frac{1}{-a+jb}\frac{1}{s+a- jb})]

C(s)=\frac{w_n^2}{(a^2+b^2)s}+\frac{w_n^2}{2jb}(\frac{a-jb}{a^2+b^2} \frac{1}{s +a+ jb}-\frac{a+jb}{a^2+b^2} \frac{1}{s+a- jb})

C(s)=\frac{w_n^2}{(a^2+b^2)s}+\frac{w_n^2}{(a^2+b^2)2jb}[\frac{a-jb}{s +a+ jb} - \frac{a+jb}{s+a- jb}]

(* eşitliğini dikkate alırsak bir hayli kısaltma yapabiliriz)

C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2jb}[\frac{a-jb}{s +a+ jb}-\frac{a+jb}{s+a- jb}]

C(t)=1+\frac{1}{2jb}[(a-jb) e^{-at}e^{-jbt}-(a+jb)e^{-at}e^{+jbt}]

C(t)=1+\frac{e^{-at}}{2jb}[(a-jb)e^{-jbt}-(a+jb)e^{+jbt}]

C(t)=1+\frac{e^{-at}}{2jb}[(a(e^{-jbt} - e^{jbt})-jb(e^{+jbt}+ e^{-jbt})]

C(t)=1+e^{-at}[(-a\frac{e^{jbt} - e^{-jbt}}{2jb}-jb\frac{e^{+jbt}+ e^{-jbt}}{2jb}]

C(t)=1+e^{-at}[\frac{-a}{b}sin(bt)-cos(bt)]

C(t)=1-e^{-{\rho}w_nt}[cos(w_n\sqrt{1-\rho^2}t)+\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}sin(w_n\sqrt{1-\rho^2}t)]

C(t)=1-e^{-\rho{w_n}t}[\frac{\sqrt{\rho^2 +(1-\rho^2)}}{\sqrt{1-\rho^2}}cos({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t-\theta)]

C(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\rho{w_n}t}cos({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t-\theta)

\theta=\arctan\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} 

İkinci derece sistemlerin basamak şeklindeki girişe karşılık sönümlü titreşim yapan cevabı ilginçtir. 

Bulunan C(t) ifadesinde titreşimlerin açısal frekansı w={w_n\sqrt{1-\rho^2}}  

Titreşimlerin sönümlenme katsayısı  \rho

Aşağıdaki grafik üzerinden bazı tanımlamaları görelim.

Tanımlar

Tp, aşımın oluştuğu süreyi ifade eder.

Bu süreyi bulmak için basamak cevabının türevini alıp sıfıra eşitleyelim.

\frac{d}{dt}C(t)=0=1-\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\rho{w_n}t}cos({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t-\theta)

0=\frac{-\rho{w_n}}{\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\rho{w_n}t}cos({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t-\theta)-\frac{w_n\sqrt{1-\rho^2}}{\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\rho{w_n}t}sin({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t-\theta)

0=\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}cos({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t+\theta)+sin({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t+\theta)

0=tan({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t+\theta)=\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}

Daha önceki hesaplamalardan \theta=\arctan\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}

\tan\theta=\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}

O halde 0=tan({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t+\theta)=\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}=\tan\theta

Bu durumda w_n\sqrt{1-\rho^2}t=n\pi

t=\frac{n*\pi}{w_n\sqrt{1-\rho^2}}

n=1 aradığımız ilk tepedir. Bu durumda;

Tp=\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\rho^2}}

Aşım Tp anında oluştuğuna göre Cmax=C(Tp) yazabiliriz.

C(t)=1-e^{-{\rho}w_nt}[cos(w_n\sqrt{1-\rho^2}t)+\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}sin(w_n\sqrt{1-\rho^2}t)]

C(max)=1-e^{-{\rho}w_n\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\rho^2}}}[cos(w_n\sqrt{1-\rho^2}\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\rho^2}})+\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}sin(w_n\sqrt{1-\rho^2}\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\rho^2}})]

C(max)=1-e^{-{\rho}w_n\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\rho^2}}}[cos(\pi)+\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}sin(\pi)]

C(max)=1+e^{-{\rho}w_n\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\rho^2}}}

Aşım miktarı m=C_{max} - 1

Bunun % değeri  m*100 olur.

% cinsinden m=100*e^{\frac{-\rho\pi}{\sqrt{1-\rho^2}}}

\ln\frac{m}{100}=-{\frac{-\rho\pi}{\sqrt{1-\rho^2}}}

\ln^2\frac{m}{100}={\frac{\rho^2\pi^2}{1-\rho^2}}

(1-\rho^2)\ln^2\frac{m}{100}=\rho^2\pi^2

\ln^2\frac{m}{100}-\rho^2\ln^2\frac{m}{100}=\rho^2\pi^2

\ln^2\frac{m}{100}=\rho^2\ln^2\frac{m}{100}+\rho^2\pi^2

\ln^2\frac{m}{100}=\rho^2(\ln^2\frac{m}{100}+\pi^2)

\rho^2=\frac{\ln^2\frac{m}{100}}{\ln^2\frac{m}{100}+\pi^2}

\rho=\frac{\ln\frac{m}{100}}{\sqrt{\ln^2\frac{m}{100}+\pi^2}}

Ts yerleşme süresi, salınımların %2 lik band aralığına girip bir daha bu sınırdan çıkmadığı bölgeye giriş süresidir.

Sinüs fonksiyonu +1/1 aralığında salınan bir sinyaldir. O halde %2 band içine girecek genlik azalması C(t) bağıntımızdaki \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\rho{w_n}t}
bağıntısından kaynaklanacaktır.

C(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\rho{w_n}t}cos({w_n\sqrt{1-\rho^2}}t-\theta)

0.02=\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\rho{w_n}T_s}

\ln0.02=-\rho{w_n}T_s{\sqrt{1-\rho^2}}

3.91=\rho{w_n}T_s{\sqrt{1-\rho^2}}

T_s=\frac{3.91}{\rho{w_n}{\sqrt{1-\rho^2}}}

T_s\approx\frac{4}{\rho{w_n}{\sqrt{1-\rho^2}}}

Çıkış sinyalimizin  sıfırdan itibaren yükselişe geçtiği bölgede cevabın %10 dan %90'a ulaşıncaya kadar geçen zamana Tr olarak tanımlanır.

Bu süreyi analitik olarak hesaplamak pek mümkün görünmüyor. Gene de kafa yoracağım.
……...

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

\rho>1  için sistemimizi inceleyelim. Bu davranış şekline aşırı sönümlü çalışma denir.  Kökler gerçek ve s_{1,2}={-\rho}w_n\pm w_n \sqrt{\rho^2-1}

s_1={-\rho}w_n + w_n \sqrt{\rho^2-1}

s_2={-\rho}w_n - w_n \sqrt{\rho^2-1}

Karmasa olmasın düşüncesiyle s_1=-a  s_2=-b olarak tanımlayalım.

Bu durumda T_{(s)}=\frac{w_n^2}{(s+a)(s+b)} olur. Rezidüleri hesaplar ve

yerine koyarsak T_{(s)}=\frac{w_n^2}{b-a}(\frac{1}{(s+a)}-\frac{1}{(s+b)}) buluruz.

Birim impals cevabı, C(t)=\frac{w_n^2}{b-a}(e^{-at} - e^{-bt})

t=0 da C(0)=0 ı dikkate alarak integre ederek de basamak cevabını

C(t)=1+\frac{w_n^2}{b-a}(\frac{e^{-bt}}{b} -\frac{e^{-at}}{a}) olarak buluruz.

\rho ve w_n daki değişimlerin basamak cevabını nasıl etkilediğini aşağıdaki videodan görebilirsiniz.

https://www.youtube.com/watch?v=N6TFAOTYl5E

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

\rho=1  için sistemimizi inceleyelim. Bu durumda kökler çakışık, gerçek ve s_{1,2}=w_n olacaktır. Bu çalışma şekline kritik sönümlü çalışma şekli denir.

Transfer fonksiyonumuz  T_{(s)}=\frac{w_n^2}{(s+w_n)^2}

Impals cevabı C(t)={w_n^2} te^{-w_n t} buluruz.

t=0 da C(0)=0 ı dikkate alarak integre ederek de basamak cevabını

Basamak cevabı C(t)=(1-e^{-w_n t}) -t w_n e^{-w_n t} buluruz.

 

Bu yazı 5- S Domeni, 7- Matematik kategorisine gönderilmiş. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.