Euler ifadesi

Euler ifadesi olarak bilinen e^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta), matematikte en çok etkilendiğim ifadedir. Seriler haricinde bu eşitlik nasıl ispatlanır bilmiyorum.

t=0 da seriye açmak için;

e^{j\theta} nın türevleri  je^{j\theta}, -e^{j\theta}, -je^{j\theta}, e^{j\theta} ....

e^{j\theta}=1+j\theta-\frac{1}{2}\theta^2-j\frac{1}{6}\theta^3+\frac{1}{24}\theta^4....

Aynı şekilde sin ve cos fonksiyonlarını da seriye açarsak;

\sin(\theta) nın türevleri  \cos(\theta), -\sin(\theta)-\cos(\theta),  \sin(\theta),  ....

\cos(\theta) nın türevleri  -\sin(\theta), -\cos(\theta)\sin(\theta),  \cos(\theta),  ....

\sin(\theta)=\theta-\frac{1}{6}\theta^3+  ....

\cos(\theta)=1-\frac{1}{2}\theta^2+\frac{1}{24}\theta^4+ ....

cos(\theta)+j\sin(\theta)=1-\frac{1}{2}\theta^2+\frac{1}{24}\theta^4+j\theta-j\frac{1}{6}\theta^3+  ....

cos(\theta)+j\sin(\theta)=1+j\theta-\frac{1}{2}\theta^2-j\frac{1}{6}\theta^3+\frac{1}{24}\theta^4+ ....

En son bulduğumuz bu ifadeyi

e^{j\theta}=1+j\theta-\frac{1}{2}\theta^2-j\frac{1}{6}\theta^3+\frac{1}{24}\theta^4+ .... ile mukayese edersek aynı ifadeler olduklarını görürüz.

Seri açılımın nasıl yapıldığını görmek için tıklayın.

Bu yazı 7- Matematik kategorisine gönderilmiş ve , , , , ile etiketlenmiş. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.