Taylor ve Maclaurin serisi

Bir fonksiyonun tüm türevleri varsa ve fonksiyonumuz 0...a aralığında sürekli ise, bu fonksiyonu a noktası civarında sonsuz terimli bir polinom (Taylor serisi) şeklinde yazabiliriz. Eğer a=0 özel durumu alınırsa elde edilen seriye Maclaurin serisi denir.

y=f(x) fonksiyonumuzın türevlerini, \frac{df(x)}{dx},\frac{d^2f(x)}{dx^2},...\frac{df^n(x)}{dx^n}...şeklinde yazalım.

f(x)={f(a)+\sum\limits_{n=0}^\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}*\frac{d^nf(t)}{dt^n}|_{t=a}

Toplamı k. terimde sonlandırırsak yapacağımız hata;

Serimizin k.teriminden sonsuza kadar olan kısmının toplamıdır. Bu hataya kalan (remainder) dersek

Rn=\int_a^x{\frac{(x-t)^k}{k!}*\frac{d^{k+1}f(t)}{dt^{k+1}}dt}

Fonksiyonun seri açılımının, sonsuz terimli bir polinom yazımından ibaret olduğunu söylemiştik. Polinom katsayılarımız a_n olsun.

Bu durumda fonksiyonumuzu en küçük terimden itibaren ters sıralama ile yazalım.

f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+....a_nx^n+.....

x=0 için a_0 dışındaki tüm terimler 0 olur.  Bir kez türetirsek;

\frac{df(x)}{dx}=a_1+a_2x+a_3x^2+....a_nx^{n-1}+.....

\frac{df(x)}{dx}|{x=0}  den a_1 dışındaki tüm terimler 0 olur.

Benzer şekilde türev almaya devam edersek;

\frac{d^nf(x)}{dx^n}|{x=0} den a_n dışındaki tüm terimler 0 olur.

O halde polinomumuzun a_n katsayıları;

a_0=f(0), a_1=f'(0), a_1=f''(0), a_3=f'''(0) bulunur.

Örnek olarak  y=e^{-x} fonksiyonunun Taylor açılını yapalım.

y={e^a+\sum\limits_{n=0}^\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}*\frac{d^ne^{-x}}{dx^n}|_{x=a}

y=e^a-(x-a)e^{-a}+\frac{1}{2}(x-a)^2e^{-a}-\frac{1}{6}(x-a)^3e^{-a}+...+\frac{1}{n!}(x-a)^ne^{-a}+...

Örnek olarak  y=e^{-x} fonksiyonunun Maclaurin açılını yapalım.

y=e^0+\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\frac{d^ne^{-x}}{dx^n}

y=1-x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}x^3+...+\frac{1}{n!}x^n+...

Bir sonraki yazım, fonksiyonların seri açılımında sonsuz yerine belli sayida terim  kullanılması durumunda yapılacak hata üzerine olacak.

Bu yazı 2- Arm ve Asm, 7- Matematik kategorisine gönderilmiş ve , , , , ile etiketlenmiş. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.