cos(wt) fonksiyonunun z domenindeki karşılığı

$y(t)=cos(wt)$ fonksiyonunun Z domenindeki karşılığının ne olduğunu merak etmekten kuduruyor olalım.

$cos(wt)=\frac{e^{jt}+e^{-jt}}{2}$ olduğunu biliyoruz.

$y(z)=\sum_{k=0}^{\infty}Z^{-k}cos(wkT)=\sum_{k=0}^{\infty}Z^{-k}\frac{e^{jwT}+e^{-jwT}}{2}$

$y(z)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}Z^{-k}e^{jwkT} +\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}Z^{-k}e^{-jwkT}$

$y(z)=\frac{1}{2}[y_1(z)+y_2(z)]$

$y_1(z)=1+Z^{-1}e^{jwT}+Z^{-2}e^{2jwT}+...Z^{-n}e^{njwT}+...$

$y_2(z)=1+Z^{-1}e^{-jwT}+Z^{-2}e^{-2jwT}+...Z^{-n}e^{-njwT}+...$

Yakınsak bir fonksiyon ile çalıştığımızdan;

$y_1(z)=1+Z^{-1}e^{jwT}(1+Z^{-1}e^{jwT}+Z^{-2}e^{2jwT}+..Z^{-n}e^{njwT}+...)$

$y_1(z)=1+Z^{-1}e^{jwT}y_1(z)$

$y_1(z)[1-Z^{-1}e^{jwT}]=1$

$y_1(z)=\frac{1}{1-Z^{-1}e^{jwT}}$

benzer şekilde

$y_2(z)=\frac{1}{1-Z^{-1}e^{-jwT}}$

$y(z)=\frac{1}{2}(\frac{1}{1-Z^{-1}e^{jwT}}+\frac{1}{1-Z^{-1}e^{-jwT}})$

$y(z)=\frac{1}{2}\frac{2-Z^{-1}(e^{-jwT}+e^{jwT})}{Z^{-2}-Z^{-1}(e^{jwT}+e^{-jwT})+1}$

$y(z)=\frac{1}{2}\frac{2-Z^{-1}2cos(wT)}{Z^{-2}-Z^{-1}2cos(wT)+1}$

$y(z)=\frac{1-Z^{-1}cos(wT)}{Z^{-2}-Z^{-1}2cos(wT)+1}$

$y(z)=Z\frac{Z-cos(wT)}{Z^{2}-2Zcos(wT)+1}$