Türev alıyoruz ama neden alıyoruz?

Türev en yaygın olarak girdi verilerinin değişken halden durağan hale geçtiği bölgeleri algılamamıza yarar.

Örneğin verilerimiz 1,2,3,4,5,5,5 şeklinde değişirken türev 5 noktasındaki durağanlığı derhal bize söyler.

Bir diğer uygulama ise  sürekli artan değerlerden sürekli azalan değerlere yada tersi durumlarda o geçiş anını yakalamak gene türev sayesinde olur. Aslında bu da durağan noktayı yakalamakla aynı hesaba gelir.

Bir de eğim teğet falan hesabı yapar derler, neyse bu kısımları boşverin.

Öğrencilik hayatımda bir polinomun rezidülerini hesaplamada iki kural ezberlettiler.

Birisi paydada katlı kök olmaması durumunda şöyle yapacaksınız, diğeri ise paydada katlı kök varsa şöyle yapacaksınız.... Bakınız

Aslında matematik ağırlıklı bir lise dönemi geçirmiş olsaydım her şey daha mükemmel olurdu. Fakat maalesef teknik eğitim almak adına Endüstri Meslek Lisesinde okudum.

Artıları oldumu dersek evet bir cihaza korkusuzca tornavidayla paldır küldür gireşebilecek özgüvene sahip olmak ve sanayideki ustalarla aynı dili konuşmak adına iyi oldu. Fakat tekniğin matematik temelli olduğu düşünülürse matematik konusunda çok zayıf kaldık.

Üniversitede Analiz dersinde hoca polinom molinom dedikçe  hiç bir şey anlamaz durumda iken yanımdaki arkadaşa ya polinom ne diye fısıldadığımda arkadaşımın yüzüme bön bön bakıp içinden yuhh dediğini hissetmiştim zaten.

Neyse....

T(s)=\frac{1}{s(s+a)^2} polinomumuzu aşağıdaki gibi daha basit polinomların toplamından oluşturmak gibi bir amacımız olsun.

Aslında sorun, ters Laplace dönüşüm tablolarında bu şekilde paydasında çarpanlar olan ters dönüşüm fonksiyonlarının dönüşümlerinin verilmeyip sadece basit fonksiyoların ters dönüşümlerinin verilmesinden dolayı fonksiyonu daha sade polinomların toplamına çevirme ihtiyacımızdan kaynaklanıyor.

T(s)=\frac{1}{s(s+a)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a}+\frac{C}{(s+a)^2}

A,B,C değerlerini bulmak için, paydaları eşitleyip pay'da oluşan ifadeyi 1'e denk yapıp katsayıları bulma yoluna gidebiliriz.

Böyle yapmayalım.

İfadenin her iki tarafını s ile çarpalım ve s yerine 0 yazalım.

T(s)=\frac{1}{(s+a)^2}=A+\frac{Bs}{s+a}+\frac{Cs}{(s+a)^2}

Bakın s=0 yazdığımızda A haricinde bir şey kalmayacak ve B ve  C'li  ifadeler yok olacak.

Eşitliğin sağında  \frac{1}{(s+a)^2} da s=0 yazarsak A=\frac{1}{a^2} bulunur.

Gene aynı şekilde eşitliğin her iki tarafını  (s+a)^2 ile çarpalım.

T(s)=\frac{1}{s}=\frac{A(s+a)^2}{s}+B(s+a)+C

s=-a yazarsak A ve  B'li terimler yok olur. Geriye sadece eşitliğin solundaki ifade ile C kalır ve C=-\frac{1}{a} buluruz.

Bakın tereyağından kıl çeker gibi iki terimi kolayca bulduk.

\frac{1}{s(s+a)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+a}+\frac{C}{(s+a)^2}

Şimdi B değerlerini bulmak kaldı. İşin pis tarafı da burada. Atsan atılmaz satsan satılmaz....

A ve C değerlerini bulduk yerine yazıp da bir şeyler yapabiliriz. Daha güzel bir şey yapacağım.

Önce eşitliğin iki tarafını (s+a)^2 ile çarpalım.

\frac{1}{s}=\frac{A(s+a)^2}{s}+B(s+a)+C

Şimdi eşitliğin her iki tarafının türevini alalım ve s=-a yazalım.

\frac{d}{ds}\frac{1}{s}=\frac{d}{ds}\frac{A(s+a)^2}{s}+\frac{d}{ds}B(s+a)+\frac{d}{ds}C

s=-a yazacağım için (s+a) nın yüksek kuvvetlerinin türevini almaya gerek olmadığını gördünüz değilmi? Alsamda bir şey değişmeyecek çünkü s=-a onları yok edecek boşu boşuna türev almış olacağız. C'de sabit olacağından türev onu imha edecek.

-\frac{1}{s^2}=B   s yerine -a yazarsak  B=-\frac{1}{a^2} buluruz.

 

Bu yazı 4- JW Domeni, 5- S Domeni, 6- Z Domeni, 7- Matematik, 9- Hikayeler - Anılar kategorisine gönderilmiş ve ile etiketlenmiş. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.