II. Dereceden sistemlerin Bode diyagramı çizimi ve bazı tanımlamalar

Bode diyagramına bir başka yazımda giriş yapmıştık.

Bu yazımda 2 dereceden bir sistemi ele alıp Bode diyagramını çizeceğiz ve bazı önemli tanımlar yapacağız.

İkinci dereceden sistemler aşağıdaki gibi bir transfer fonskiyonuna sahiptir.

T(s)=\frac{W_n^2}{S^2+2{\rho}w_nS+w_n^2}

S=jw yazalım.

\frac{V_c}{V_i}=\frac{W_n^2}{(jw)^2+2{\rho}w_n(jw)+w_n^2}=\frac{W_n^2}{-w^2+2jw{\rho}w_n+w_n^2}

\frac{V_c}{V_i}=\frac{1}{(1-\frac{w^2}{w_n^2})+j2{\rho}\frac{w}{w_n}}=\frac{(1-\frac{w^2}{w_n^2})-j2{\rho}\frac{w}{w_n}}{(1-\frac{w^2}{w_n^2})^2+(2{\rho}\frac{w}{w_n})^2}

|M|=\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{w^2}{w_n^2})^2+(2{\rho}\frac{w}{w_n})^2})}

|M|{db}=-20log(\sqrt{(1-\frac{w^2}{w_n^2})^2+(2{\rho}\frac{w}{w_n})^2})=-10log((1-\frac{w^2}{w_n^2})^2+(2{\rho}\frac{w}{w_n})^2)

\theta=-Atan\frac{2{\rho}\frac{w}{w_n}}{1-\frac{w^2}{w_n^2}}

w<<w_n için M=0 \theta=0

w>>w_n için M=-40log\frac{w}{w_n} \theta=-\pi

w=w_n için M=-20log(2\rho) \theta=-\frac{\pi}{2}

w=w_n durumunu gözetmeden genlikle ilgili Bode çizimimiz aşağıdaki gibi olacaktır.

Magnitude2

 

 

 

 

 

 

 

Phase2

 

 

 

 

 

 

 

w_n=w için \rho nun değişik değerleri için özel noktalar hesaplayıp daha sonra bu noktalardan geçen asimtotlarla asıl genlik grafiği çizilmelidir.

Bu zahmete girmeden hazır grafik vermekle yetineceğim.

second

Genlik grafiğine baktığımızda w_n'e yakın bölgede genliğin tepe yaptığını çıkış sinyalinin genliğinin giriş sinyalimizin genliğini de aştığını görmekteyiz.

Bu aşamada bazı tanımlar yapacağız.

Rezonans Tepesi

Genlik grafiğinde en büyük genlik değeridir ve w , w_n ve \rho ya bağlıdır.

|M|=\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{w^2}{w_n^2})^2+(2{\rho}\frac{w}{w_n})^2})}

\frac{dM}{dw}=0 dan

0=\frac{d}{dw}{[(1-\frac{w^2}{w_n^2})^2+(2{\rho}\frac{w}{w_n})^2]}=\frac{d}{dw}{(1-2\frac{w^2}{w_n^2}+\frac{w^4}{w_n^4}+4{\rho^2}\frac{w^2}{w_n^2}]}

0=-1+\frac{w^2}{w_n^2}+2\rho^2

w=w_n\sqrt{1-2\rho^2} de genlik max değeri alır.

|M|=\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{w^2}{w_n^2})^2+(2{\rho}\frac{w}{w_n})^2})}' da yerine yazılırsa;

|M|=\frac{1}{2\rho\sqrt{1-\rho^2}} buluruz.

Eğer \rho çok küçük ise yaklaşık olarak w ve w_n eşit alınabilir.

second

 

Gain Margine (Kazanç payı, genlik payı)

Faz açısı 180 dereceye ulaştığında, genliğin 0 dB den ne kadar uzak olduğunu  tanımlar.

Phase Margin (Faz payı)

Genlik eğrisi 0dB olduğunda faz açısının -180 dereceye ne kadar uzak olduğuu tanımlar.

Crossover Frequency

Genliğin 0dB olduğu duruma karşılık gelen w değeridir.

Band Width (Band genişliği)

Genliğin 3dB değere ulaştığı frekans genişliğidir.

Faz payı ve genlik payı küçük sistemler kararsızlığa yakın sistemler demektir.

Bu yazı 4- JW Domeni, 5- S Domeni, 6- Z Domeni, 7- Matematik kategorisine gönderilmiş. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.