Bode çizimleri

Bode diyagramları bir sistemin girişine uygulanan sinüsoidal sinyalin açısal frekansının 0'dan sonsuza doğru artması durumunda geri besleme noktasindaki sinyalin genlik ve fazının açısal frekansla değişimini görebilmek amacıyla çizilir.

Kapalı çevrimli bir düzenekte negatif geri besleme kullanılır. Geri besleme sinyalinin açısı 180 dereceye kayarsa bu geri besleme sinyalinin -1 ile çarpılması anlamına geleceğinden artık girişteki fark alıcı, çıkartma işlemi değil toplama işlemi yapacaktır. Bu da geri beslemenin pozitif geri besleme olacağı anlamına gelir. İşte bu yüzden bode çizimlerinde kapalı çevrim transfer fonksiyonu değil açık çevrim transfer fonksiyonu kullanılır.

Bode diyagramı logaritmik eksenlerde çizilir.

Bu durumda çarpma işlemleri toplamaya, bölme işlemleri de çıkartmaya dönüşür. Ayrıca logaritmik eksenler çok geniş aralıkta değişim gösteren açısal hız ve genliğin daha küçük bir grafik alanına çizimine imkan tanır.

Şekildeki devrede Vc geriliminin Vi sinüsel gerilimin açısal frekansı ile nasıl değiştiğini Bode diyagramı üzerinde irdeleyelim.

Vc=\frac{Vi}{R+\frac{1}{SC}}\frac{1}{SC}=\frac{Vi}{1+SRC}

normalize edersek   Vc(s)=\frac{Vi(s)}{1+\frac{S}{w_o}}

Burada w_o=\frac{1}{RC}

jw domenine geçmek için s=jw yazarsak

Vc=\frac{Vi}{1+j\frac{w}{w_o}} buluruz.

\frac{Vc}{Vi}=\frac{1}{1+j\frac{w}{w_o}}

db cinsinden genlik (magnitude) değerini hesaplayalım. Pay ve paydayı komplex eşlenikle çarparsak;

\frac{Vc}{Vi}=\frac{1-j\frac{w}{w_o}}{1+(\frac{w}{w_o})^2}

|M|=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{w}{w_o})^2}}   \theta=-Atan(\frac{w}{w_o}) buluruz.

Genlik ve açı fonksiyonlarımız belli olduğuna göre Bode çizimine geçebiliriz.

Önce genliği çizelim. Bunun için |M| ifadesini dB cinsinden yazalım

Bunun için |M|_{dB}=20log\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{w}{w_o})^2}}=-20log{\sqrt{1+(\frac{w}{w_o})^2}}

w<<w_0 için  yaklaşık olarak M=0 olur.
w>>w_0 için  yaklaşık olarak M=-20log(w) olur. Yani w nın 10 kat artışına karşılık genlik 20 dB azalır.

Özel durum olarak w=w_0 da  M=-20log{\sqrt{2}}=-3_{dB}  olacaktır.

Grafiği öncelikle düz çizgilerle özel noktaları çizelim.  Yeşil, Kırmızı, Pembe ve Kavuniçi.

Yeşil çizgi 0 dB hattını, pembe -20 dB hattını, kavuniçi genliğin 3 dB düştüğü w/w_o noktasını, kırmızı 10 decad değişime karşılık 20dB zayıflamayı göstermektedir.

Bu özel noktalara göre asimtodlar çizilirse yaklaşık mavi çizgi elde edilir.

Magnitude

Elbette bilgisayar programı ile fonksiyonun doğrudan grafiğini de çizebiliriz. Fakat logaritmik eksenler kağıt üzerinde hemencecik elle çizimi mümkün kılar.

Aynı şekile açının w ile değişiminin grafiğini çizelim.

\theta=-Atan(\frac{w}{w_o})

w<<w_0 için \theta=0
w>>w_0 için \theta=-90
w=w_0 için \theta=-45

Bu özel noktalar için pembe, kavuniçi ve yeşil renkler kullanıldı ve asimtotik eğri mavi renkte çizildi.

Phase

w_o=\frac{1}{RC} olduğunu biliyoruz. Bu durumda RC devremizin giriş sinyalinin açısal hızındaki değişime göre çıkış genlik ve fazının nasıl değiştiğini grafiklerden kolayca görebilmekteyiz.

Bu yazı 3- Elektronik, 4- JW Domeni, 5- S Domeni, 7- Matematik kategorisine gönderilmiş. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.