Seri RLC devresinin basamak cevabı

RLCSoldaki devrede t=0 anında Io akımı akmakta ve kapasitör uçlarında Vo gerilimi bulunmaktadır.

Bu anda sistem V/s basamak voltajı ile dürtülmektedir.

Devreden geçen akımı ve kapasitör voltajını hesaplayalım.

 

R, L ve C uçlarındaki gerilimleri yazalım.

VR=RI       VL=sLI - LIo       VC=\frac{I}{sC} + \frac{Vo}{s}

\frac{V}{s}=RI+sLI-LIo+\frac{I}{sC}+\frac{Vo}{s}

\frac{V}{s}-\frac{Vo}{s}+LIo=(R+sL+\frac{1}{sC})I

\frac{V}{s}-\frac{Vo}{s}+Lio=(s^2+s\frac{R}{L}+\frac{1}{LC})I\frac{L}{s}

\frac{V}{L}-\frac{Vo}{L}+sIo=(s^2+s\frac{R}{L}+\frac{1}{LC})I

I=\frac{\frac{V-Vo}{L}+sIo}{s^2+s\frac{R}{L}+\frac{1}{LC}}

{s^2+s\frac{R}{L}+\frac{1}{LC}}=(s+a+jw)(s+a-jw)=s^2+2as+a^2+w^2

a=\frac{R}{2L}             w=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}

I=\frac{\frac{V-Vo}{L}+sIo}{(s+a+jw)(s+a-jw)}

I=\frac{\frac{V-Vo}{L}}{(s+a+jw)(s+a-jw)}+(\frac{sIo}{(s+a+jw)(s+a-jw)}

I=I1+I2

i1=\frac{V-Vo}{L}\frac{1}{(s+a+jw)(s+a-jw)}=\frac{V}{-2jwL}(\frac{1}{(s+a+jw)}-\frac{1}{(s+a-jw)})

i1(t)=\frac{V-Vo}{-2jwL}(e^{(-a-jw)t}-e^{(-a+jw)t})

i1(t)=\frac{V-Vo}{-2jwL}(e^{-at}*e^{-jwt}-e^{-at}*e^{jwt})

i1(t)=\frac{(V-Vo)e^{-at}}{-2jwL}(e^{-jwt}-e^{jwt})=\frac{(V-Vo)e^{-at}}{2jwL}(e^{jwt}-e^{-jwt})

i1(t)=\frac{(V-Vo)e^{-at}}{wL}sin(wt)

i2=\frac{sIo}{(s+a+jw)(s+a-jw)}

Burada tekrar uzun uzun işlem yapmayalım

\frac{df(t)}{dt} Laplace karşılığı sf(s)-f(0) olduğundan

i1(t)=\frac{V-Vo}{L}\frac{e^{-at}sin(wt)}{w}

f(t)=\frac{e^{-at}sin(wt)}{w}

f(0)=0 bulunur.

\frac{df(t)}{dt}=\frac{1}{w}[-ae^{-at}sin(wt)+we^{-at}cos(wt)]

i2=\frac{Io}{w}[-ae^{-at}sin(wt)+we^{-at}cos(wt)]

i=e^{-at}[(\frac{V-Vo}{wL}-\frac{aIo}{w})sin(wt)+Iocos(wt)]

Bu yazı 3- Elektronik, 5- S Domeni, 7- Matematik kategorisine gönderilmiş. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.